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蝴蝶定理交互式演示
蝴蝶定理是平面几何中的重要定理，描述在圆中两条弦相交时，交点将两条弦分割成的线段乘积相等。通过交互操作，观察几何关系如何保持不变。
蝴蝶定理几何演示
拖动控制点调整位置，观察相似三角形和等角关系
控制点位置
线段长度与乘积
AE:
1.00
EB:
1.00
CE:
1.00
ED:
1.00
AE × EB:
1.00
CE × ED:
1.00
AE × EB = CE × ED = 1.00
弦AB
弦CD
三角形AEC
三角形BED
交点E
蝴蝶定理证明过程
步骤 1: 识别相似三角形
在圆中，弦AB和CD相交于点E。观察三角形AEC和三角形BED：
- ∠AEC = ∠BED（对顶角相等）
- ∠EAC = ∠EBD（同弧EC所对的圆周角相等）
- ∠ECA = ∠EDB（同弧EA所对的圆周角相等）
因此，根据AAA相似准则，△AEC ∽ △BED
步骤 2: 建立比例关系
由相似三角形可得对应边成比例：
\[ \frac{AE}{BE} = \frac{CE}{DE} = \frac{AC}{BD} \]
特别关注比例：\[ \frac{AE}{BE} = \frac{CE}{DE} \]
步骤 3: 推导乘积关系
将比例关系改写为：
\[ AE \times DE = BE \times CE \]
重新排列：
\[ AE \times EB = CE \times ED \]
（注意：EB和BE是同一线段，ED和DE是同一线段）
结论
因此，无论点A、B、C、D在圆上的位置如何变化，只要弦AB和CD相交于点E，就有：
\[ AE \times EB = CE \times ED \]
这就是蝴蝶定理的核心结论。
数学表达
AE × EB = CE × ED
三角形AEC
顶点: A, E, C
∠AEC
90°
∠EAC
45°
∠ECA
45°
三角形BED
顶点: B, E, D
∠BED
90°
∠EBD
45°
∠EDB
45°
相似比: 1.00
